古人云：玄不救非，氪不改命。意思是玄学救不了非洲人，氪金无法改变命运。这句话充分体现了人类力量在随机事件概率模型前的局限性。最近入LL手游坑（有特殊原因，本人不是邪教成员），为了麒麟臂发作起来心里能有数，不至于信用卡账单出来后要把自己卖了，特进行一些计算，供自己参考。
因本人大学期间概率论挂科重修N次，本文计算和推导可能有不准确的地方，如有错误欢迎指正。
一、SIF抽UR最大概率方案与课金期望成本
不考虑官方另有黑幕（比如有人说官方反而会降低课金玩家的概率），LL抽卡的基础概率是90% R、9% SR、1% UR。故11连时出UR的概率为1-0.99^11=10.47%。
11连只出R的概率是0.9^11=31.38%。这个概率非常高，所以一定要在11连有保底时抽。保底机制当11R出现时将其中一个R替换掉，概率为90% SR、10% UR，故保底11连会增加31.38% × 10% = 3.12%的UR概率。
然后是欧洲券系统。每10次抽卡换一张欧洲机票，5张机票可以起飞，概率为20% UR、80% SR（坠机）。这样每次11连相当于0.22次起飞，增加20% × 0.22 = 4.4%的UR概率。
综上，考虑到欧洲券系统的补偿，每次带保底11连的综合UR概率为10.47% + 3.12% + 4.4% = 18%。
每次11连需要氪50心，故一张UR的用心数学期望为50 / 18% = 277.7心。
iOS中平均单价最低的充值方案是318元购买88心，平均每心3.61元。可得一张UR课金的数学期望为1003元。即不想费脑子的话尽量算简单点就是对课金玩家来说，每张UR需要1000元的平均成本。
二、考虑到人种的课金成本计算
如果只是砸个10张毛爷爷就能拿到UR问题倒是简单了，然而量子力学告诉我们，这个宇宙是要掷骰子的。SIF玩家说，我们不掷骰子，我们只看脸，对于脸黑的非洲人来说，UR其实是Unavailable Rare的缩写。
在LLHelper工具集中作者将人种分为以下几类：官托（最高1%）、欧洲人（1-15%）、偏白亚洲人（15-35%）、亚洲人（35-65%）、偏黑亚洲人（65-85%）、非洲人（85-99%）、部落酋长（最倒霉的1%）。
我们把问题简化为18%概率下的二项随机实验，即不考虑一次11连出了超过1个UR的脸帝。给定抽卡次数求抽中UR次数的概率分布是二项分布，但我们需要的是给定UR的个数求抽卡次数的概率分布。这个分布叫做负二项分布。
在给定中奖次数为1时，负二项分布即为几何分布，这时用简单的乘法就能算清楚，但给定次数大于1时，负二项分布的公式就很复杂了，我们需要借助一下matlab。
（好吧，我不假装我是数学系的了，我承认我是第一次用matlab，现用现安装的。函数也从网上现学的，参考的这篇文章。）
设一些人有5个UR，则他们进行抽卡次数的概率分布可按以下命令计算，如图所示。
x=(1:100)
y=nbinpdf(x,5,0.18)
plot(x,y)
横坐标为抽卡次数（注意是带保底11连的次数）。可以看到，平均数差不多是20次，绝大多数人都能在40次11连以内抽到5个UR。用累积概率分布可以看得更清楚（nbincdf）。
和正态分布的概率分布图还是比较类似的，但是仔细看就会发现十分可怕的事情，那就是脸最白的2%只需要抽5次就能次次得UR，而最黑的2%则需要抽50次以上。也就是说每50个人就会有1个抽5次爆5个UR的和1个50下才能凑够5个UR的。
使用负二项逆累积分布（nbininv）可以画出不同人种有x张UR时所需的抽卡次数（或消费）。
x=(1:10)
y01=nbininv(0.01,x,0.18)+1
y15=nbininv(0.15,x,0.18)+1
y35=nbininv(0.35,x,0.18)+1
y65=nbininv(0.65,x,0.18)+1
y85=nbininv(0.85,x,0.18)+1
y99=nbininv(0.99,x,0.18)+1
plot(x,y01,x,y15,x,y35,x,y65,x,y85,x,y99)
从图中可以看出，如果想要5张UR，有15%的欧洲人需要抽不超过13次，大部分玩家需要抽13到35次，剩下15%的非洲人就要抽35次以上了，如果是部落酋长，则要抽57次以上。
一次11连是50心，约180元，消费很容易计算。以5000元的“微氪”来说，可以抽27次，如果脸比较白，拿到9张UR不是问题，如果脸黑，可能只能拿到3张，如果是酋长，一张没出的可能性也并不是没有。只有当x取到更大，课金超过5W，概率造成的差距才会因统计规模而缩小。
以上。本非洲人继续打活动攒SR去了。